Vettori e Scalari

Ho ritrovato una vecchia guida che avevo scritto per un altro sito e ve la ripropongo qui, opportunamente corretta e modificata:)

Vettori e scalari sono quantità che spesso troviamo insieme, ma che non sappiamo come relazionare o distinguere a primo impatto: ecco un piccolo scorcio sulla questione per affrontare i primi argomenti di fisica e matematica che li trattano!

  • Scalare: è il classico “numero” che ci ritroviamo davanti dalla mattina alla sera. E’ una quantità definibile all’interno dell’insieme dei numeri reali, interi, frazionari, indistintamente, a una dimensione.
    Su di un sistema di assi cartesiani ortogonali è rappresentato da un punto.

    Può essere “guardato” anche come un particolare vettore privato di direzione e verso. Leggendo più avanti capirete il perchè!

  • Vettore: è una quantità definita in uno Spazio Vettoriale (quindi non più i classici insiemi elencati prima), caratterizzata dal fatto che ha:
    1) un Modulo (o Intensità), cioè un numero che ne descrive la “grandezza”;
    2) una Direzione che ne definisce la linea sulla quale si origina;
    3) un Verso che ne fornisce l’orientamento.

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    Screenshot da un video trovato su youtube

    E’ quindi una quantità che, graficamente, sugli assi cartesiani ortogonali di riferimento, si disegna come una freccia, con una punta e una coda.

  • Le due grandezze si distinguono “ad occhio” grazie a un sistema di scrittura matematica: gli scalari vengono infatti differenziati dai vettori caratterizzati dalla presenza di una “freccia” al di sopra della lettera che li indica (oppure un “sottosegno” – underscore -).

  • Un Vettore e uno Scalare possono essere moltiplicati tra loro: il risultato sarà un vettore con la stessa direzione e lo stesso verso del vettore precedente, ma con intensità data dal prodotto del modulo del vettore per lo scalare! N.B. Se lo scalare è negativo cambierà il verso del vettore iniziale nel risultato!

  • I Vettori, invece, possono essere sommati e moltiplicati tra loro attraverso due metodi per ciascuna operazione, rispettivamente:
    Metodo Punta-Coda (si uniscono i vettori e si misura il risultante) e Metodo del parallelogramma (il risultato sarà la diagonale maggiore del parallelogramma formato dai due vettori uniti per la coda, conservando gli orientamenti). La differenza tra vettori non è altro che una somma di vettori con il secondo cambiato di verso!
    Prodotto Scalare (Prodotto del modulo dei due vettori per il coseno dell’angolo tra essi compreso: risultato è uno scalare) e Prodotto Vettoriale (prodotto dei moduli dei due vettori per il seno dell’angolo tra essi compreso: risultato è un vettore con direzione perpendicolare al piano individuato dai due vettori iniziali e verso da individuare con la regola della mano destra).
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Come identificare il valore assoluto o modulo

Ho ritrovato una vecchia guida che avevo scritto per un altro sito e ve la ripropongo qui, opportunamente corretta e modificata 🙂

In matematica e fisica il valore assoluto si ritrova un po’ dappertutto: nelle equazioni, disequazioni, nell’affrontare i vettori, nello studio di funzioni… Ma cos’è e come si riconosce?
Ecco qualche dritta per i più “sfaticati”!

  • Un Valore Assoluto o Modulo si riconosce subito dalla sua simboleggiatura matematica.
    Un numero o una variabile tra 2 simboli del genere: | | si dice appunto “in valore assoluto” o “in modulo”.
    Ma cosa significa questa simboleggiatura?

 

  • Numeri: Per i numeri il valore assoluto rappresenta la quantità contenuta al suo interno privata di segno.
    Ad esempio:
    Il valore assoluto di 3 = |3|= Il valore assoluto di (-3)=|-3|= 3
    E’ quindi un escamotage per considerare solo il numero, la quantità che il numero rappresenta, privata di segno.

 

  • Variabile: Per una variabile, invece, il valore assoluto si utilizza, spesso. per poter sottintendere che, qualunque ne sia il valore, una volta trovato, si deve considerare in “positivo”; per esempio se la soluzione del nostro esercizio è: x=-3, nel calcolare|x| dobbiamo considerare 3!
    Questo capita, per fare un esempio pratico, quando calcoliamo la distanza di un punto da una retta: nella formula il numeratore è racchiuso in un valore assoluto, come mai? Perchè la misura di un segmento non può essere mai negativa!
    Per cui, per escludere questa evenienza, si usa il valore assoluto per fare in modo che si consideri il numero che ne esca fuori privato di segno!
    Un escamotage furbo per eliminare casi “impossibili” !

 

  • Equazioni e disequazioni: Un valore assoluto non è raro da trovarsi anche in un’equazione o una disequazione.
    Qui rappresenta la possibilità di avere 2 equazioni o 2 disequazioni in una, e cioè la “positiva” e la “negativa”!
    Esempio:
    |x+1|=4 dà vita a:
    1) x+1=4
    2) -x-1=4
    ed il risultato della equazione iniziale sarà l’insieme dei risultati di queste 2 equazioni.
    Esempio:
    |x+1|<4 racchiude:
    1) x+1<4
    2)-x-1 x+1>-4
    e cioè, combinandoli insieme: -4<x+1<4
    per cui per una disequazione il valore assoluto rappresenta un intervallo!

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    Fonte: lezionidimatematica.net

 

  • Vettori e fisica: Il modulo di un vettore è la grandezza, l’intensità del vettore stesso, accompagnata da direzione e verso che ne completano la definizione.
    Il modulo di un vettore si indica con la stessa simboleggiatura matematica ma ha un significato, quindi, rispetto a quello che gli si attribuisce in algebra.

Differenza tra sistemi di disequazioni e disequazioni frazionarie

Ho ritrovato una vecchia guida che avevo scritto per un altro sito e ve la ripropongo qui, opportunamente corretta e modificata 🙂

La matematica, spesso, è un argomento ostico per moltissimi studenti, di qualunque età, ma basta seguire poche semplici regole perchè diventi… non dico piacevole ma almeno fattibile!
Ecco qui una piccola guida per stabilire che tipo di grafico utilizzare nel caso dei sistemi di disequazioni e in quello delle disequazioni frazionarie!

  • Disequazioni Frazionarie: Una disequazione si dice frazionaria se sia al denominatore che al numeratore ci sono delle quantità che dipendono dalla variabile incognita. Non sono frazionarie, quindi, quelle disequazioni che come denominatore presentano delle costanti, e quindi dei numeri, non accompagnate da incognite.
    Ogni disequazione frazionaria dà vita ad un sistema di disequazioni, dove si pongono numeratore e denominatore maggiori di zero, se ne trovano le soluzioni, e si riportano su di un grafico comprensivo di linee continue (che seguono il corso delle soluzioni delle 2 disequazioni del sistema) e linee tratteggiate (che andranno invece in senso opposto sullo stesso rigo). Fatto ciò, si passa a studiare il segno di ogni intervallino del grafichetto (le linee continue corrispondono a + e le linee tratteggiate al -, ed i segni rispettano le regole di moltiplicazione dei segni).
    La nostra soluzione sarà data dall’insieme degli intervallini che rispettano il segno della disequazione iniziale!NB. Se prima di creare il sistema abbiamo dovuto cambiare segno alla disequazione, si considera L’ULTIMO segno della disequazione prima del sistema! Per cui se avevamo una disequazione iniziale maggiore di 0 che nel corso dei calcoli, prima di creare il sistema, è diventata minore di 0, noi considereremo nel grafichetto tutti gli intervallini negativi!).

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    Fonte: youmath.it

 

  • Sistema di Disequazioni: Un sistema di disequazioni si differenzia da una disequazione frazionaria perchè è un incrocio di soluzioni, e non uno studio del segno di una funzione frazionaria.
    Qui le cose sono più semplici: risolte le varie disequazioni che lo compongono si crea un grafichetto identico al precedente, con un rigo per ogni disequazione del sistema, che però conterrà solo le linee continue e non le linee tratteggiate!
    La soluzione del sistema sarà data dagli intervallini del grafichetto in cui figurano tante linee continue quante erano le disequazioni del sistema (ad esempio 3 disequazioni del sistema -> 3 linee continue nello stesso intervallo!).

#Lezionedelgiorno: Geometria e Algebra

Lezione del giorno con G. – I Liceo Scientifico

Esercizi svolti dai libri Algebra Blu 1 (N° 377, una equazione letterale) e Geometria Blu ( N° 103 – 81 e altro) della Zanichelli.

#LezioneDelGiorno: Equazioni e Disequazioni

Esercizi svolti oggi da G. – I Liceo Scientifico

Equazioni e Disequazioni di I grado, dal libro Algebra Blu 1 della Zanichelli (N° 81 – 211 – 335 – 88)

Equazioni e Disequazioni - Esercizi Svolti

Equazioni e Disequazioni – Esercizi Svolti

Equazioni e Disequazioni - Esercizi Svolti

Equazioni e Disequazioni – Esercizi Svolti

Equazioni e Disequazioni - Esercizi Svolti

Equazioni e Disequazioni – Esercizi Svolti

Equazioni e Disequazioni - Esercizi Svolti

Equazioni e Disequazioni – Esercizi Svolti

Maturità 2014 (Seconda Prova Liceo Scientifico)

Sono le 12:07 e già qualcosa in rete sbuca riguardo le tracce di matematica di quest’anno.

Da Studenti.it:
Maturità 2014 Matematica Problema 1
Maturità 2014 Problema2

Maturità 2014 Matematica questionario

 

Proviamo a risolvere in diretta qualche esercizio!

Quesito 1:

 

Quesito 2:

Quesito 3:

Quesito 7:

Quesito 8 (interamente svolto!):

www.pilloledimatematica.wordpress.com

Quesito 8 interamente svolto

Quesito 9:

 

Quesito 10: